インターネット自体がつながっているか否かを確認しましょう。
メールだけができないなら、利用しているプロバイダーのメールサービスに障害が出ていることも。
この場合、障害の解決を待つのみです。

自分だけメールの受信ができない場合、受信サーバーが提供するメールボックスの保存容量が限界を超えている可能性があります。

Outlook Express や Windowsメールなら、メニューバーの『ツール』メニューから『アカウント』を選択し、使用中のアカウントをダブルクリック→『プロパティ』→『詳細設定』を選択、『配信』項目の『サーバーにメッセージのコピーを置く』のチェックをはずします。
または『サーバーから削除する』を１週間程度に設定してメールボックスがいっぱいになることを防ぎます。

送信したメールが相手に届かない場合、まずは相手のアドレスを間違っていないか宛先を確認しましょう。
正しければ相手のPCで迷惑メール対策に引っ掛かっている可能性もあるので、相手に確認してもらいましょう。