ボールタップが原因と考えるもの：浮き球が、タンク壁面やサイホン管にふれて浮いてきにくくなっている。最近は、ご自分でウォシュレットを取り付けた際に、ボールタップを回転させてしまっているのを見かけます。
フロート弁が原因と考えるもの：排水口に何か異物が引っかかっており、フロート弁が開いたままになっている。フロート弁を動かす鎖が、からまって少しだけ弁が開きっぱなしになっている。

ハンドル付近の漏水は、ワンホール型（一つ穴）のシングルレバー蛇口でよく見かけます。漏れてくる箇所によりますが、おおむね緊急性は無いでしょう。
緊急性は無くても、よくなることはないので、早めの修理をおすすめいたします。