ハンドル付近の漏水は、ワンホール型（一つ穴）のシングルレバー蛇口でよく見かけます。漏れてくる箇所によりますが、おおむね緊急性は無いでしょう。
緊急性は無くても、よくなることはないので、早めの修理をおすすめいたします。