引っ越し代金が現金払いの場合、一応の作業完了後に代金を支払ってしまうと、あとで賠償額との相殺や代金の減額も困難となり、納得できずに泣き寝入りとなる可能性が高いです。

責任の有無の判断はともかく、客観的に引っ越し会社の責に帰すべき事由があることが明らかな場合は、作業完了後の現金支払を留保し、賠償額との相殺を検討するのが一番実効性はあります。